复变函数讲义与作业题详解（清华大学 · 李岩松）

两份复变函数复习材料的 PDF，整理归档在这里，方便同学下载、检索和打印：

• 《复变函数复习讲义》（67 页）：按李岩松《数学物理方法课程讲义·复变函数部分》第 1–9 章梳理的复习版，附武仁《数学物理方法习题集》32 个复习单元与「速查与自检」。
• 《复变函数作业题详解》（52 页）：本学期布置的八章课后作业，完整题目 + 详细解答，书末附「答案速查」表。

讲义与习题的原作者是清华大学数理教研室的 李岩松 老师。本仓库只是把两份复习材料以 PDF 形式整理归档，方便同学查阅，不用于任何商业用途。

文件清单

文件	页数	大小	内容
复变函数复习讲义.pdf	67	约 660 KB	定理条件 · 公式结论 · 常用方法 · 精选习题；覆盖李讲义第 1–9 章全部主题
复变函数作业题详解.pdf	52	约 574 KB	八章课后作业的完整题干与推导，含答案速查

下载方式：点开上面的链接 → 右上角 Download 按钮；或者 git clone 本仓库后直接在本地打开。

一、复习讲义：目录与内容

章	标题	起始页	主要内容
V	使用说明	—	使用顺序、页码与记号约定、条件优先原则
1	解析函数：从复数到解析性	1	复数运算与辐角、序列与区域、复可导与 Cauchy–Riemann 方程、调和函数与共轭、保角映射
2	初等函数、多值函数与分支	7	幂函数/有理函数/指数与三角、支点与割线、对数与一般幂、反三角
3	复变积分与 Cauchy 理论	11	积分定义与估计、Cauchy 定理、原函数与路径无关、多连通域、小/大圆弧引理、Cauchy 积分公式与高阶导数、Cauchy 估计与最大模、Liouville 与代数基本定理、积分题选择顺序
4	无穷级数：收敛、换序与展开的基础	19	复数项级数、函数项级数与一致收敛、渐近展开与最优截断、幂级数与收敛半径、Abel 定理、含参反常积分
5	Taylor 展开、零点与唯一性	24	Taylor 定理与收敛圆、展开与求和的常用方法、多值函数先定分支再展开、无穷远点展开、零点阶数与恒等定理
6	Laurent 展开、奇点与解析延拓	28	Laurent 定理与圆环选择、孤立奇点的三套判别、无穷远奇点与整/亚纯函数、解析延拓与自然边界
7	留数：从局部系数到整体积分	32	留数计算、无穷远点留数与外部求和、有理函数部分分式、三角函数有理式的单位圆法、无穷区间积分
8	留数应用：围道、分支、根数与乘积	35	Fourier 型积分与 Jordan 引理、实轴奇点与主值、钥匙孔围道、对数权重与参数法、矩形围道、辐角原理与 Rouché 定理、无穷乘积
9	Gamma、Beta、Psi 与 Zeta 函数	40	Gamma 的定义与延拓、乘积与围道形式、Stirling 渐近与 Laplace 方法、Beta 与换元模板、Psi 函数、Riemann/Hurwitz Zeta、Bernoulli 记号
10	武仁习题精选与答案	45	E01–E32 共 32 个复习单元，每题标明原书题号、小问与页码，附答案与关键步骤
11	速查与自检	59	题型与工具的选择、围道选择表、「最后必须能回答的十五个问题」
12	来源与范围核对	61	与李讲义各章、武仁习题集、Ahlfors《复分析》的对应关系

讲义本身的结构约定（摘自其使用说明）：

• 主线：李岩松讲义第 1–9 章，全部主题；参考：Ahlfors《复分析》中的相关专题（只作局部补充，不扩大范围）；练习：武仁习题集复变部分。
• 原则：一般定理证明从略，保留高频方法，明确适用条件、解析分支与收敛方式。
• 每条公式的解析域、分支、边界、收敛方式都算公式的一部分，整理中在必要处标「条件说明」。

二、作业题详解：八章题解

按讲义附录 A 的题号整理本学期的全部作业，每题先给原始题干，再给完整推导（极限、留数、收敛性判断与基本定理依据一并注明）。

章	标题	起始页	布置的题号
1	第一章 解析函数	4	1，3(a)(b)，6，7（只做 cos 与 n = 3 的情形），11
2	第二章 初等函数与多值函数	10	5，7，8
3	第三章 复变积分	14	1，2，5，6，8
4	第四章 无穷级数	18	1，3，7，8(1)(3)
5	第五章 解析函数的局域性展开	24	1(b)(e)，2(b)(c)
6	第六章 解析函数的局域性展开（续）	28	1(b)(e)，2
7	第七章 留数定理及其应用（一）	32	1(1)(2)(4)，2(2)(3)(6)，3(b)，4(a)(b)，4(d) 选做
8	第八章 留数定理及其应用（二）	39	1(b)，2(d)(e)，3(a)(b)，4(a)(d)
附录	答案速查	49	按章汇总全部结果，核对答案用

几道典型题目：一元三次方程的实根与重根条件；沿 C₁、C₂ 变化时 w = z^(1/3) 的取值；∫₀^(1+i) z̄ dz 沿不同路径；1/(1+z+z²) 与 sec z 在 z = 0 的 Taylor 展开；1/(z²−3z+2) 的两个 Laurent 展开；∫₀^π dθ/(1+sin²θ)、∫₀^∞ x sin(bx)/(x²+a²) dx、∫₀^∞ sin³x/x³ dx、∫₀^∞ x^s/(1+x²)² dx、∫₀^∞ ln x/(x²+a²) dx 等围道积分。

三、怎么用

1. 第一遍：按讲义第 1–6 章建立概念与展开体系（解析性 → 初等/多值函数 → 积分与 Cauchy 理论 → 级数 → Taylor → Laurent）。
2. 第二遍：集中练第 7–8 章的围道选择，配合作业详解里对应的实积分题。
3. 第三遍：整理第 9 章的特殊函数与参数法（Gamma/Beta/Psi/Zeta），再用讲义第 11 章「速查与自检」逐项回忆。
4. 做习题时先遮住答案独立完成，再检查适用条件和关键步骤——这两份材料反复强调的就是「条件优先」。

四、页码与记号约定

• 页码对照：复习讲义正文的印刷页码 = PDF 物理页 − 6（封面 1 页 + 目录 4 页 + 使用说明 1 页在前面）；作业详解用的是 n / 51 编号，n = PDF 物理页 − 1。武仁原书印刷页 +2 即 PDF 物理页；李讲义与 Ahlfors 的印刷页与 PDF 物理页相同。
• 记号：z = x + iy = re^{iθ}；arg z 为多值辐角，Arg z ∈ (−π, π] 为主值；Ln z 为对数主值分支；Res[f(z), z₀] 为 f 在 z₀ 的留数；闭路积分均取逆时针（正向）；C 为有限复平面，Ĉ 为扩充复平面；「域」含开且连通，「紧致一致」即在每个域内紧集上一致。
• 两点提醒：未说明的围道取正向，简单有界域逆时针、多连通域按「区域在左侧」定向；无穷远点的函数分类用 f(1/w)，但算留数时 dz = −dw/w² 必须额外处理。

五、来源与版权

• 讲义来源：李岩松《数学物理方法课程讲义·复变函数部分》（2024 年 5 月 14 日版）第 1–9 章。
• 习题来源：武仁《数学物理方法习题集》习题一至八；Ahlfors《复分析》仅作局部补充。
• 版权：讲义与习题的著作权归原作者及所在单位所有；本仓库仅作个人复习交流之用，请勿用于商业用途。若原作者或相关单位认为不宜公开，请联系删除。
• 仓库里的 LICENSE（MIT）只覆盖本 README 等仓库自身的整理文字，不覆盖两份 PDF 的内容。

六、更新记录

• 2026-11-14：首次归档《复变函数复习讲义》（67 页）与《复变函数作业题详解》（52 页），补写本 README。

反馈

发现页码对不上、题目或解答有明显笔误，欢迎开 Issue 指出（附页码与题号）。祝你复变顺利。