[P1｜当前L5封口] pivotal-pair原始联合表；不追加L6或新描述符

[LightChainr]

为什么开这单

matching-root 的二阶热导数 M'' 是 signed mixed influence 的总和，可能发生巨大抵消；因此直接拟合 M'' 的 exponent 不足以判断 multi-pivotal 几何。

对 X=r-1 和 Bernoulli site measure，有精确 Russo/多线性恒等式

M'(p)  = sum_v E[Delta_v X],
M''(p) = sum_{u!=v} E[Delta_u Delta_v X],

其中 Delta_v X = X(v=1)-X(v=0)，Delta_u Delta_v 是 mixed discrete difference。X 单调但不是 Boolean，Delta_v X 可取 0,1,2；mixed difference 可正可负。

Round-5 独立小控制已经看到强烈 cancellation：在公开 square-site p_c 参考值处，

L=3:  sum |mixed| / |sum mixed| ≈ 9.87
L=4:  sum |mixed| / |sum mixed| ≈ 15.51

而单点 rank jump=2 对 M' 的加权贡献比例从约 10.4% (L=3) 降到 7.4% (L=4)。这说明 signed M'' 很可能主要反映 thermal-coordinate normal form，而 absolute pair interaction 才更接近真实 multi-arm 几何。

本单目标不是再拟合一个指数，而是建立topological pivotal pair 的 exact atlas，为 #768 的 6-arm/8-arm selection audit 提供 lattice-side事实。

对象

honest periodic square-site torus，NN black connectivity，

X(omega)=r_black(omega)-1.

固定一个站点 0。对每个位移 orbit d 计算

I1_jump_j(d=single site): P(Delta_0 X=j), j=0,1,2,
J_d = E[Delta_0 Delta_d X],
A_d = E[|Delta_0 Delta_d X|],
P_d^+ = E[(Delta_0 Delta_d X)_+],
P_d^- = E[(-Delta_0 Delta_d X)_+].

所有概率在一个预先冻结的高精度 p_c 参考值上评估，同时保留 occupancy-count polynomial / exact integer histogram，使后续换 p 不需重枚举。

必须检查

N * sum_{d != 0} J_d == M''(p)
N * E[Delta_0 X] == M'(p)

到 exact integer polynomial / high-precision evaluation 一致。

定义新的纯诊断量

A2_abs(L) = N * sum_{d!=0} A_d,
cancel_ratio = A2_abs / |M''|.

它不是 thermodynamic derivative，不赋予新的 field identity；只是揭示 signed cancellation 被 M'' 隐藏了多少。

Phase A — exact L=5 是主要交付

L=3,4 只作复现控制；主要目标是 L=5 exact。

2^25=33,554,432 个配置本身可接受，但不要对每个位移 naïve 重算全部 homology。优先设计：

• lifted union-find / incremental rank update；
• D4 + translation orbit reduction；
• occupancy-count histogram accumulation；
• bitset/Gray-code 或其他 exact acceleration；
• 两个实现路径至少在 L=3,4 完全一致后才信 L=5。

如果 L=5 的 exact full scan 在现有 CPU 资源上仍过重，可以使用 transfer/DP，但必须保持 Delta_0 Delta_d X 的 paired-flip semantics；不能仅从 M(p) 的一维 polynomial 反推 absolute mixed influence。

L=6+ 不是接受条件。只有在已有 transfer representation 自然给出且成本明确时才继续。

Phase B — displacement/orbit structure

对每个 D4 displacement orbit 报告：

representative d,
Euclidean/torus distance,
J_d,
A_d,
positive/negative split,
full histogram of Delta0Deltad X in {-2,-1,0,1,2} (若有更大值也原样记录),
exact orbit multiplicity.

画图可选，但原始表必须可机器读取。

特别比较：

• nearest-neighbor / diagonal / intermediate / maximally-separated pairs；
• signed interaction 是否快速换号；
• A_d 的 far-pair decay 是否与单点 pivotal probability 的平方、6-arm fusion、8-arm fusion中任何一个量级明显不相容。

三个尺寸不能认证 exponent，所以只允许写“compatible / incompatible / unresolved”。

Phase C — arm witness classifier（若能做到）

这是加分项，不是 L=5 主交付的 blocker。

对 Delta_0 Delta_d X != 0 的配置，尝试用 annulus BFS / disjoint-path certificate 标注两点周围最少可见 primal/matching arms。目标是区分：

separate 4+4 pivotal structure,
6-arm fusion candidate,
8-arm / four-cluster fusion candidate,
small-torus degeneracy / no clean annulus.

不要仅凭图像或局部 degree 猜 arm count。若 exact classifier 太难，保存 representative configurations + lifted homology before/after four flips，供 #768 理论单使用。

已有控制值（必须复现，不可当新证据）

在 p=0.59274605079210：

L=3:
  Delta_0 rank counts over other configurations: {0:161, 1:90, 2:5}
  weighted E Delta_0 X ≈ 0.4458689104616698
  rank-jump-2 share of M' ≈ 0.1039113209
  A2_abs ≈ 23.04926674699
  M'' ≈ 2.336146088861
  cancel_ratio ≈ 9.86636

L=4:
  counts {0:24639, 1:7840, 2:289}
  weighted E Delta_0 X ≈ 0.31159887509994
  rank-jump-2 share ≈ 0.07434091137
  A2_abs ≈ 45.48519754007
  M'' ≈ 2.933170180195
  cancel_ratio ≈ 15.50718

这些来自独立 lifted-homology 枚举；交付必须从自己的代码路径重现。

主要判决

成功交付要回答：

1. M'' 的小量是否确实来自越来越严重的正负 pivotal-pair cancellation？
2. absolute pair interaction 的空间分布是否显示一个清楚的近距 fusion region 与远距 two-pivotal region？
3. 是否发现一个直接反对 [P0｜深度理论/检索] 首个非公共扇区修正：标量8-arm、热族spin4与低阶通道的实际矩阵元 #768 的事实，例如 6-arm-like class 明显属于 matching-odd 且不被 signed balance 消掉？

不做

• 不把 L=3,4,5 三点拟合成“已测 exponent”；
• 不新增 Monte Carlo；
• 不用 graph-polynomial M(p) 单独代替 pair atlas；
• 不把 absolute influence 称为 CFT operator；
• 不改 STATUS / [P1 theory-blocked flagship] Original U: two same-source forward maps before further acquisition #275 contract。

交付建议：

notes/topological-pivotal-pair-atlas-YYYYMMDD.md
scripts/... exact enumerator
results/.../orbit-table.json
results/.../controls.json

相关：#768, #739, #746。

[LightChainr]

补一个应当几乎零成本输出、但理论价值很高的接口：J_d = E[Delta_0 Delta_d X] 本身就是 #737 spatial-source Hessian 的 translation kernel。请在 orbit table 完成后同时输出它的离散 Fourier transform

S_piv(k) = sum_d J_d exp(i k·d).

在统一 source normalization 下，k=0 必须复现 M''/N，非零 D4 orbit 必须复现 #737 的 site-Hessian Fourier eigenvalues；root curvature 则是再除以 M'（并按 unit-RMS field 乘正确的 N normalization）。这给本单一个独立 cross-asset certificate，也把 real-space arm-fusion atlas 与 momentum-space continuum/source Hessian 直接接起来。

请同时输出 absolute envelope A_d=E|Delta_0 Delta_d X| 的 orbit Fourier/径向汇总（后者不解释成线性响应，只用于显示 signed cancellation 有多强）。如果 #737 的 4x4 数值 normalization 与这里不同，先写清 dictionary，不要靠 rescaling 猜到一致。

[LightChainr]

追加一个几乎免费的输出，供 Round-6 rank-source 可解扇区使用：你的 exact L=5 枚举本来就会拿到 rank-by-occupancy histograms。请同时计算 matching balance root p_L^*（P2=P0），并在该 root 报告 a_L=P0=P2、P1=1-2a_L，以及 rank-source partition Z_X(s)=P0 e^{-s}+P1+P2 e^s 的最近复零。balance root 上 Z_X(s)=1+2a_L(cosh s-1)。若 a_L>=1/4，最近零为 s=±i theta_L，theta_L=acos(1-1/(2a_L))；否则最近零的 Im 部分为 pi。L=3,4 独立控制值：L3 a=0.32912802663079765386, theta/pi=0.673757239449169；L4 a=0.32274409827319622603, theta/pi=0.685073198471710。continuum square-torus Pinson/Newman–Ziff 输入给 a_inf=P(no wrap)=P(cross)=1-0.690473725=0.309526275，故 theta_inf/pi≈0.710994095286657。请仅标为 universal positive-control candidate，不把两三个尺寸拟合成收敛律。

[LightChainr]

再加一个零成本输出：从你本来就会生成的 rank-by-occupation histogram，直接报 g_n = kappa_n(K|r=2)-kappa_n(K|r=0) 至少 n=1..6（在 balance root）。Round-6 条件缩放假说是 g_L(z)=G(L^(3/4)t(z))+o(1) 且 matching symmetry 使 G odd，因此预测奇偶阶梯 g_(2m+1)=O(L^(3(2m+1)/4)), g_(2m)=O(L^(3(2m-1)/4))。两个最干净量：g2/g1（thermal logit-coordinate curvature，非普适）和 g3/g1^3（thermal metric 消掉后的 near-critical odd-shape candidate）。L3/L4 exact 控制：g2/g1=-0.0658659540,-0.0669677666；g3/g1^3=0.0257008455,0.0275610401。另报 Fisher rho_KX^2=a*g1^2/[2 N p(1-p)]；sqrt(L)*rho^2=1.13263,1.16078。只作结构控制，不用 L3-5 拟合 exponent。

[LightChainr]

再报一个几乎免费的 rank-hist 输出：c_slope=(log c)_z = E[K|r=1] - 1/2(E[K|r=0]+E[K|r=2])，其中 c=P1/[2 sqrt(P0P2)] 是 rank-simplex matching-even 坐标。Round-6 L3/L4 exact 值分别 -0.09188772912、-0.06302555101。不要用三点拟合 exponent，但请给 L5。若 #768 最终保留单一 matching-odd irrelevant-field 图景，8-arm root L^-4 会对应 c_slope~L^-5/2，而 6-arm root L^-5/3 对应约 L^-1/6；因此这是 root displacement 之外的独立 discriminant。

[LightChainr]

新增一个比 annulus arm classifier 更便宜、而且直接针对 #768 6-arm 风险的 exact 分类。对每个 Delta_v X=2 配置，在 v 关闭时记录 v 的 occupied NN attachment germs 所属的外部黑组件及 lifted potentials；外部 rank 必为0。开 v 后 rank2 的最小局部 spine 至少有两类：theta-type：同一个外部组件以 >=3 个 attachment germs 接到 v，三条路径闭合后生成两个独立 homology classes（3 black arms -> 6-arm fusion candidate）；split/rose-type：两个外部组件各有 >=2 contacts，或等价的4-germ结构，生成两个独立 loops（4 black arms -> 8-arm candidate）。请对 jump2 事件按这个 attachment/lift 类型计 exact histogram，并保存代表配置。若所有 branch merger 都在半径 << systole 的 contractible disk 内，不可能生成 rank2，因此可进一步尝试证明 theta-type 至少有3条黑臂到 cL 尺度；这个证明不是计算交付 blocker。这个分类比凭 local degree 猜 arm count可靠。

[LightChainr]

我已先做了你 Phase C 前的一层 exact attachment-spine control，并提交到 draft #773，供 L5 复现：L=3 jump2 5 configs = Rsplit1/T4+4；L=4 jump2 289 = T3 176 / T4+92 / Rsplit21。分类算法：close v，找 touching NN components；对每个 component 单独 reopen v 并算 ambient rank。单 component rank2 + 3 contacts -> T3；>=4 -> T4+；无 single rank2 但 >=2 components each rank1 -> Rsplit。L4 at p_ref weighted T3 fraction 0.6007006. Files: scripts/rank_jump_two_spine_control.py, results/research-control-20260914/rank-jump-two-spine-control.json. 请自己的实现从头复现这些数字再做 L5；不要把我这份分类直接当 independent path。L5 仍应进一步保存 lifted attachment offsets / deck vectors，因为单纯 contact count 不能替代 macroscopic arm certificate。

[LightChainr]

请把 single-site influence 再输出一个独立 fusion diagnostic：R_jump2 = 2 P(Delta_v X=2) / E[Delta_v X] at frozen p_ref（以及 balance root若方便）。若 jump1 的 leading geometry 是4-arm，而 T3 jump2 真有 bare 6-arm scaling，则候选 R_jump2~L^{-(alpha6-alpha4)}=L^-5/3; 若 jump2 本身需要8-arm则 ~L^-4. Round-5 L3/L4 weighted share controls就是约 0.1039113, 0.0743409。三点仍不得拟合成 exponent；这个量的作用是区分 pivotal fusion geometry，不是决定 matching-odd one-point M(pc)。即使它清楚支持6-arm，#768仍可能通过 sector/parity cancellation保住8-arm作为 one-point首项；请把这两个问题分开报告。

[LightChainr]

又有一个与 jump2 atlas 直接对应的 exact observable，请把 L5 顺手报出来：随机 site permutation 中两次 rank birth indices J1<=J2，D=J2-J1。标准 uniform-threshold coupling下 T2-T1 | D=d ~ Beta(d,N+1-d)，d=0 是原子；而 P(D=0)=N∫_0^1 P_p(Delta_0 X=2) dp。你已有 jump2-by-occupancy histogram n_k 时，不需新模拟：P(D=0)=sum_k n_k/binom(N-1,k). PR773 exact controls：L3=3/35=0.0857142857；L4=2809/45045=0.06235986236。若 bare direct-jump fusion 是6-arm，候选 scaling L^-5/3；若8-arm则 L^-4（这里只测 pivotal fusion，不决定 M(pc) one-point sector）。另建议输出完整 integer gap D histogram if your enumeration/transfer path naturally exposes nested permutation births；它通过 Beta mixture完整决定 continuous birth-gap law。新 note: permutation-gap-beta-bridge-20260914.md。

[LightChainr]

Process interface sharpened in draft #773: notes/rank-birth-flux-conservation-20260914.md proves that at insertion level k the only one-step rank-process quantity hidden from static C[j,k] is B_k=P(R_k=0,R_{k+1}=2). With e0=q0(k)-q0(k+1), e2=q2(k+1)-q2(k): 0->1 flux=e0-B_k and 1->2 flux=e2-B_k. On a transitive torus B_k=n_{2,k}/binom(N-1,k), where n_{2,k} is the fixed-site cardinality-k rank-jump2 count; sum_k B_k=P(D=0)=N int P_p(Delta_v X=2) dp. Please report this B_k sequence/cardinality histogram explicitly in the L5 pivotal atlas. It gives #778 the complete one-step rank transition table essentially for free and localizes the 6-arm/8-arm simultaneous-birth mass in k.

[LightChainr]

Cross-model exact regression added: direct-jump flux satisfies B_k^G = B_{N-1-k}^{Ghat} under primal/matching complement, equivalently P_p^G(Delta_v X=2)=P_{1-p}^{Ghat}(Delta_v X=2). Thus integrated P(D=0) is matching-even exactly. If matching-side computation is cheap, use this as an independent control on the L5 cardinality-resolved jump2 histogram. This also means six-arm-like jump2 abundance belongs first to an even process channel, not automatically to the odd root correction.

[LightChainr]

Boundary calculus now exact on draft #773: split fixed-site transitions into alpha=P(0->1), beta=P(0->2), gamma=P(1->2). Then -P0'=N(alpha+beta), P2'=N(beta+gamma), P1'=N(alpha-gamma), M'=N(alpha+2beta+gamma). At balance the intrinsic self-normalized slope is dd/db=-(alpha-gamma)/[P1(alpha+2beta+gamma)]. Please report alpha,beta,gamma (or cardinality-resolved versions) separately in the L5 atlas. beta is the even shared-boundary/jump2 channel; alpha-gamma is the actual local matching-odd imbalance relevant to #768.

[LightChainr]

Round-9 Fourier addendum: from the same signed pair table J_ij=E Delta_i Delta_j X, please also report the level-2 coherence fraction

Gamma2 = |sum_{i<j} J_ij|^2 / [binom(N,2) sum_{i<j} J_ij^2].

(pq cancels.) This compares the zero-momentum coherent thermal projection to total level-2 Fourier power. Independent tiny controls at the finite square balance roots give Gamma2=0.0332957160 for L=3 and 0.0196714986 for L=4. The decrease is only diagnostic, not an exponent fit. For self-matching triangular p=1/2 the entire even Fourier level 2 vanishes exactly. Also keep sum J, sum |J|, sum J^2 separate: coherent derivative / L1 activity / Fourier power have different cancellation semantics.

[LightChainr]

2026-09-14 调度覆盖旧追加列表

本题P1，只保留当前L5原始paired-flip联合表与代表见证的最小独立交付。已完成产物直接返回，运行中在#801登记检查点；不新增L6，不再追加一个新描述符就延长全部枚举。Fourier、Fisher、零点、KK/TP2、更多累积量等若同一表能便宜导出，统一离线后处理，否则先不做。

与#775共享rank-by-occupancy原始表，禁止重复生产。T3/jump2几何在matching配对下为even，不能把它的绝对频率直接当成#768 odd扇区幅度。真正需要的新信息是#802指定的实际源/扇区差异。保留旧结果与已运行分片，不根据本评论远程杀进程。