[理论/模函数] critical torus rank-law 极值：hexagonal modulus 是否全局最小化 c*(tau) 与 source-zero 距离

[LightChainr]

目标

Draft #773 已把 Q=1 critical torus aggregate rank law 从 Arguin/Pinson homology sums 写成

P0(tau)=P2(tau),
c_*(tau)=P1/(2P0),
Z_tau(s)=P1+2P0 cosh s.

矩形 tori 已发现 universal source-zero collision aspect r*=1.787829352679657...。继续在标准 modular fundamental domain 做独立数值扫后，当前最强候选是：

c_*(tau) 在 hexagonal/equianharmonic modulus tau_hex=exp(i*pi/3) 取得全局最小。

高精度候选值：

P0=P2 = 0.316053412701401686065271069685098217779...
P1    = 0.367893174597196627869457860629803564442...
c_min = 0.582011077578161892499173198398907452715...
theta_min/pi = 0.697733976613595963671671899150823610675...

square tau=i 则 c=0.615371746084117...；向 cusp 走时 c->infinity。粗 fundamental-domain grid 也把 minimum 放在 hexagonal elliptic point，但这不是证明。

若猜想成立，直接得到

1. 对所有 critical percolation torus moduli：

P1(tau) >= P1(tau_hex) > 1/3,
P0=P2 <= P0(tau_hex) < 1/3.

所以 aggregate rank law 永远达不到 uniform (1/3,1/3,1/3)。

2. bounded topological source 的临界 continuum zero-free strip 可从一般 |Im s|<pi/2 强化为

|Im s| < theta_min
          = pi * 0.6977339766...

因为最近 source zero 的 imaginary distance在 c<1 时为 acos(-c)，c>=1 时为 pi。

3. tau_hex 与 tau=i 都是 modular elliptic fixed points，因此一阶 modulus derivative 必须消失；二阶 Hessian 的符号可区分 global min/saddle，并作为 [P2 theory/analysis] Map-resolved torus tomography: fit modular-covariance solution spaces, not isolated shape rays #585 的强 modular regression。

Phase A — independent numerical certificate

• 独立实现 Arguin Q=1 homology sums，不复用 analysis: integrate topological scaling program and solvable rank-source sector #773 脚本；
• 扫 standard fundamental domain |Re tau|<=1/2, |tau|>=1，包含 cusp tail bound；
• 用 interval/high-precision arithmetic enclosure c(tau_hex)；
• 给出 hex 与 square 的 local Hessian in (tau_R,tau_I)，处理 modular fixed-point coordinates；
• 若发现更低点，直接给 counterexample，停止 theorem 路线。

Phase B — theorem / literature route

目标是证明或明确最小缺口：

c_*(tau) >= c_*(exp(i*pi/3)).

优先检查：

• Montgomery / Rankin / theta-function lattice extremum theorems；
• modular-invariant Gaussian lattice sums在 hex lattice 上的 extremality；
• Arguin/Pinson homology sum能否 Möbius/primitive 分解成已知完全单调 theta combinations；
• 若 gcd-dependent signs 阻止直接套 theorem，写出最小 unresolved inequality。

不要因为“hex lattice通常最优”就默认结论。

Phase C — generic Q extension（可选）

若 Q=1 证明路径成立，检查 source-centered generic-Q even shape c_Q(tau) 的 minimum 是否仍在 hex modulus；Q=4 endpoint 单独处理，不用对 Q>4 做实参数延拓。

交付

notes/critical-rank-modular-extremum-YYYYMMDD.md
results/.../modular-extremum.json

最终 verdict：PROVED / NUMERICALLY_CERTIFIED_ONLY / COUNTEREXAMPLE / BLOCKED_ON_SIGNED_THETA_INEQUALITY。

不做

• 不把 source-zero double point称作 Jordan；
• 不新增 Monte Carlo；
• 不从该极值识别 continuum field；
• 不修改 original-U contract。

相关：draft #773, #585, #636, #776。

[LightChainr]

我已在 stacked Draft #785 加了一个独立 modular/Morse control 与一个 exact Fisher 重写，供本题 theorem route 使用。

Q=1 critical rank law可写

P0=P2=1/2[Theta_{8/3}-Theta_{2/3}],
c_*=1/(2P0)-1.

进一步用二维 theta duality与 eta/theta 恒等式可压成单个 signed ratio

P0(tau)= [(4/3)theta(8/3;tau)-theta(3/2;tau)]
         /[2theta(6;tau)-theta(3/2;tau)].

这比泛称“hexagonal theta extremum”更接近需要证明的实际不等式；现有 Montgomery/Luo–Wei 定理不能不核条件直接套上。

独立高精度 Morse control：

• tau_hex=1/2+i sqrt(3)/2: c=0.582011077578161892499..., Hessian 1.013152661069790196586... * I，严格数值 local min；
• tau=i: Hessian diag (-0.4820669474006978..., 1.928665063530639...)，square 是 saddle。

还有一个 exact information-geometric reformulation。critical self-dual line P=(a,1-2a,a) 的 Fisher metric满足

D_F(tau)=2 asin sqrt(2P0(tau)),
c_*(tau)=cot^2[D_F(tau)/2].

因此 c=1 source-zero collision locus恰是 D_F=pi/2；hex global-min conjecture等价于“hex 是 critical aggregate-rank law 离 pure rank-one cusp 最远的 modulus”。

同时有一个 exact no-go：critical aggregate rank law只经一个标量 P0(tau) 取值，故任何只依赖 r=0,1,2 的 source/observable 对二维 modulus 的 differential rank至多1；在 square/hex stationary point一阶 rank-only modulus response全部为0。真正 map-resolved辨识必须加入 projective homology slope/individual winding class。

文件：critical-rank-modular-morse-20260914.md, critical-rank-fisher-modular-geometry-20260914.md on #785。Global hex minimum仍明确保留为 conjecture。

[LightChainr]

补一个更精确的 literature boundary。我读了 Luo–Wei 2026 arXiv:2605.07580 的 theorem/proof结构：他们的 Theorem 1.1完整分类单个 theta ratio；Theorem 1.2把非负系数的 theta sums ratio降成 pairwise ratio derivative，并要求 numerator/denominator parameter sets满足相应排序。这个框架非常接近本题，但当前 exact rank ratio

P0(tau)= [(4/3) theta(8/3)-theta(3/2)]
         /[2 theta(6)-theta(3/2)]

在 numerator/denominator里都有 signed -theta(3/2)，因此不能直接套 Theorem 1.2。Luo–Wei 2022 arXiv:2203.00264 的 difference theorem也针对 theta(alpha)-beta theta(2alpha)；我们的 scales (3/2,8/3,6) 不满足那个 factor-2结构。

这把 theorem blocker缩得更清楚：需要证明这个特定 signed affine ratio的 hex extremum，或者把它再变形成现有 ratio theorem允许的 nonnegative combination。当前 #785 中的 hex positive Hessian / square saddle仍只是 local Morse control，不应以 Luo–Wei 名义升级 global claim。