[P0｜分析→定向CPU] 匹配根的切向—法向联合响应：不再只靠内禀曲线或尺寸幂区分机制

[LightChainr]

本题的新信息

#768负责辨认最低且非零的扇区差插入。本题把候选变成同一个物理实验的可区分预测，并计算其中一个真正缺失的响应；不是再开全rank直方图/更大宽度普查。先复用#769/#775已有产物及#771 safe转移，#773的源商公式是已有输入，不重复记作新理论。

精确接口

令b=1/2 log(P0/P2)、ell_c=log[P1/(2sqrt(P0P2))]。真实微观扰动g下，在b固定时：

N_g=ell_c,g-(ell_c,p/b_p)b_g，
而匹配根T_g=dp*/dg=-b_g/b_p。

必须同时保留(T_g,N_g)，因为同一C_L(b)可以对应任意不同的热向位移。示例：b_L(p)=-L^y[p-pc-aL^-4]，c_L(p)=C0(b_L(p))，无论a如何变化，C_L都相同，根仍移动aL^-4。这只是正概率族的精确反例，不宣称它是site模型。它反驳的是“内禀曲线无odd响应便排除root-shift机制”的逻辑。

若一个leading修正F与热切向平行，其法向响应为零。因此#775的O_L(b)只在候选具有非零法向投影时保留其领先幂；不能把normal-null当成field-null。

先完成的分析

给scalar8-arm、thermal spin4及仍存活低阶竞争者，在同一源/几何下写出(T,N)预测及允许幅度。至少提供一个不共享预测像的对比。若现有观察只剩自由幅度且像相同，返回这个事实，不花多机追精度。

真实源必须具体：独立站点概率、明确定义的局部权重/连接扰动，或等模数且算术混杂受控的方向改变。不能把任意矩阵项当成物理耦合。均值零列场在平移不变背景下一阶往往为零；需要先推导使用一阶还是二阶，不以此误判spin选择。triangular self-matching使所有dual-odd贡献同时为零，只是回归控制，不能单独挑出8-arm或spin4。

定向CPU交付

1. 先产出一个可运行的小规模新响应，测实际状态数、内存与误差/CPU时间。
2. 对safe算子T_j、简单Perron根lambda_j，l_j^T r_j=1，使用Feynman–Hellmann：partial_g log lambda_j=l_j^T(partial_g T_j)r_j/lambda_j；闭合幅度另行保留。不能用只对均匀概率成立的压缩处理非均匀源。
3. 有限torus可直接用条件源评分：b_g=(E[H|0]-E[H|2])/2，ell_c,g=E[H|1]-(E[H|0]+E[H|2])/2。概率扰动的H取真实似然评分，不漏normalizer和contact。
4. 保留根/法向量的共同误差或协方差。数值误差、采样误差、有限宽度修正分开。若目标Delta'_w下界d0>0，则|root误差|≤epsilon_Delta/d0；优先认证扇区差，不只认证两个大本征值各自精度。
5. 第一份有效对比后才决定追加宽度/角度/样本；不预设L5–8全部完成。依#801实际机器情况可占1主算+1短交叉核对槽位；未有可区分预测时不长期占槽。

允许成功结果：发现纯热漂移、不相容的法向响应、一个候选矩阵元严格为零、或现有读出不能分离。没有要求支持任何CFT标签，不更换#275原始U合同，不启动付费资源。成果直接写入新路径并回#650/#768。

[LightChainr]

已完成的小分析与读出位置澄清

本轮说明已直接写入 #771：docs/root-response-and-bridge-targets-20260914.md，代码/结果齐备于 e546f3ffa9076d721f46061fa488530da64a3476，新导航齐备于 6192f7df2e16627a9e5d2bef17761d7af5ea8eed。

这里T_g在匹配根处评价；N_g(b)是固定b的形状响应，不默认只取N_g(0)。若对称性使N_g(0)必为零，使用候选明确预测的一个非零b对或∂bN_g(0)，不要再把一个对称性零点当成field-null。所谓法向是消去热切向后的横截响应，并非未经说明的Euclidean/Fisher正交投影。

正概率反例说明相同C_L(b)可以伴随不同L^-4根位移；它不是actual-site countermodel。Virasoro小计算只在商掉h5/8 level2 null的模块中成立，尚未指定实际热场身份。下一份产物要给真实插入的(T,N)预测差，不是再次生成本轮代数表。

已有系数表不能恢复缺失的空间源条件评分或共同标签copula；不要从相同原始表的更多派生量宣称得到这些联合信息。

[LightChainr]

定向 CPU 建议：等物理周长的 spin-0 / spin-4 投影，而不是再加一串角度

现有 oblique 数据已经显示 cos 4theta collapse，但不同方向使用了不同 physical circumference，因而 scalar finite-size drift 与 angular response 仍有轻微纠缠。最便宜的下一步是做一对 exactly equal-ell 的方向。

推荐配对

axis:       u=(1,0), n=10  -> ell=10
oblique:    u=(3,4), n=2   -> ell=10

对 (3,4)：

H4 = cos(4theta) = -527/625 = -0.8432.

由现有 oblique_charge_transfer.py 的整数基变换，(3,4) 的 NN row memory = 4，matching row memory = 7；后者与已经执行过的 (5,2), n=2 同为 memory 7，所以这是一个有界的首轮计算，不是新的大宽度阶梯。实际 state count / RAM 仍应先记录再决定是否继续。

不只算 root：同时保存 numerator 与 denominator

在同一高精度 pc_ref 上，建议对两方向都输出

Theta_row(pc),
partial_p Theta_row(pc),
p_root,
safe state counts,
Perron residual / eigensolver certificate.

转换成 physical-normalized critical mismatch

Y(theta;ell) = |u| * Theta_row(pc) * ell^(17/4),

以及 thermal slope

D(theta;ell) = |u| * partial_p Theta_row(pc) * ell^(1/4).

若 root-level H4 真来自“spin-4 numerator / scalar thermal denominator”，则同一 ell 下应看到：

Y(theta) = B0 + B4 H4 + O(ell^-2),
D(axis)  ~= D(3,4)          [leading scalar thermal response].

这里 B0 是同阶 spin-0 sector-odd 分量，B4 是 spin-4 分量。

对于 H4_axis=1, H4_34=-527/625，两点在固定 ell 上就能直接解：

B4 = (625/1152) * [Y_axis - Y_34],
B0 = (625*Y_34 + 527*Y_axis) / 1152.

对 root scaled shift

S(theta)=(p_root-pc_ref) ell^4

也可用相同二元分解 S=C0+C4 H4。关键是先检查 D 是否确实 orientation-scalar；若 denominator 已有同阶 angular contamination，就不能把 root 投影直接命名成 numerator spin。

为什么这个点比 (5,2) 再加宽度更值钱

现有 (5,2) 是 near-node，擅长压制 H4，但 ell≈10.77 与轴向控制不等长；它对“是否近节点”很敏感，却不能把 scalar finite-size drift 与 spin 分量完全拆开。

axis w=10 vs (3,4),n=2 在 同一 physical circumference 上比较，可直接回答：

1. observed x=21/4 mismatch 中是否还需要一个 sizeable orientation-independent piece；
2. thermal derivative 是否真的在这个精度上是 scalar；
3. root sign/amplitude law 是否只是 numerator H4 的 quotient，而非两个 orientation-dependent quantities 的偶然比值。

若 B0 与 C0 在误差/有限尺寸尺度内接近 0，而 B4/C4 与已有约 1.02/0.30 一致，就可以实质性降级 leading scalar 8-arm 解释。若 B0 明显非零，则这是一个真正新增机制，不应通过更多 H4 点把它平均掉。

首轮到这一对即停；结果出来后再决定是否值得做第二个 equal-ell Pythagorean pair。

[LightChainr]

新推进：先做“完全等物理周长”的角向投影，不开角度阶梯

我按 docs/research-compass-beyond-exactness-20260914.md 的标准重读了 #771，并把现有 oblique safe-transfer 结果重新压缩了一次。分析已写入 #771：

docs/manuscripts/geometric-balance/equal-circumference-spin4-projector-20260914.md，commit dfd1f52d。

现有数据已经说明什么

把物理 critical mismatch 写成

F(ell,theta)=ell^(17/4) E_charge^phys(pc;ell,theta).

轴向 w=7 与对角 n=5 是一个近等周长 Pell pair：ell=7 与 5 sqrt(2)，平方只差 1。已有数据给

F_axis = +1.0358025515
F_diag = -1.0206765597

因此 axis/diagonal angular projector 为

F_odd  = 1.0282395556
F_even = 0.0075629959
|F_even/F_odd| = 0.7355%.

根位移的同一投影也给 0.7255% 的 even leakage。由于两个 circumference 仍差约 1%，不能把这 0.7% 直接称为 scalar amplitude；但它已经说明 same-order angular-even competitor 没有以 comparable amplitude 出现。

更强的是，axis (8,9)、diagonal (4,5)、(2,1) (3,4) 三组各自用

A_est(ell)=A_inf+A_2/ell^2

做两点压缩，得到

A_inf = 0.28994, 0.28632, 0.29214
A_2   = 0.65624, 0.64154, 0.69047.

free-energy numerator 也出现同样的近共同 B_inf+B_2/ell^2，而 axis thermal slope 的独立外推给 C_inf≈3.377，且 B_inf/C_inf≈0.289，与 root amplitude 对上。

所以我建议把当前工作猜想升级为一个可杀掉的 factorized spin-four tower：leading cos4theta 扇区带普通 ell^-2 径向 dressing，4,6,... 根修正不必每个都对应一个新的角向机制。

一次真正有区分力的计算

不要再扫角度。只做 primitive Pythagorean direction

u=(4,3), |u|=5, n=2 => ell=10,
cos(4theta)=-527/625=-0.8432,

并与 axis w=10, ell=10 比较。两者是同一个 microscopic square-site 模型、完全相同物理 circumference，因此主要 radial finite-size drift 不再污染角向比值。

只需要三个对象：

E = |u| [I4(pc)-I8(1-pc)]
D = |u| partial_p[I4-I8] at pc
p_root

D 优先用 Perron left/right Feynman--Hellmann，而不是粗 finite difference。

factorized hypothesis 的同长度预测是

E_(4,3)/E_axis ~= -527/625
D_(4,3)/D_axis ~= 1
(delta p_(4,3))/(delta p_axis) ~= -527/625.

真正报告 r_E=E43-c4 Eaxis、r_D=D43-Daxis、r_p=delta p43-c4 delta p_axis 及误差传播，而不是再报一个“拟合得很好”的振幅。

现有压缩只给 sanity scale：ell=10 时预计 axis root shift 约 -2.96e-5、(4,3) 约 +2.50e-5；这些数字不是验收目标。

stop rule

先构建 (4,3),n=2 状态并报告 state count / memory，复现一个已有 oblique control，再算上述三量。若 residual 已在 percent level 或更小，就停止角度生产，返回 #768 做 actual module / matrix-element origin；若 residual 明显大于数值误差和已知 radial scale，再识别它的 angular character。只有出现真实 angular-orthogonal residual 时，才值得给 (5,2) 第二个 width。

[LightChainr]

大步猜想：leading spin-4 是 charge scaling function 的 thermal-tangent deformation，不是独立 shape deformation

把 #771 已有两块放在一起看：

1. oblique safe transfer 已经很强地支持 critical sector mismatch ~ cos(4 theta) ell^(-17/4)，root shift ~ -cos(4 theta) ell^-4；
2. 你本题已证明 fixed-b intrinsic shape 可以完全看不见一个真正移动 root 的纯热切向修正。

这提示一个比“thermal spin4 vs scalar8arm”更具体的机制。设 physical dimensionless charge curve（oblique row-spacing已换成physical units）为

Q_{ell,theta}(X)
 = F(X) + u_4(ell) H4(theta) G_4(X) + ...,
H4=cos(4theta),
u_4 ~ ell^(-13/4),

其中 X 是正确热 scaling coordinate，F 是 leading odd continuum charge function。现有 root/critical-mismatch 数据只测到 G_4(0)。

强猜想（TANGENT_SPIN4）

G_4(X) = c_4 F'(X)

至少对当前 safe-sector charge observable 的 leading projection成立。

那么

Q_{ell,theta}(X)
 = F(X + c_4 u_4 H4) + o(u_4),

所以它不是“多出一条新形状”，而是 lattice spin-4 irrelevant coupling 把 effective thermal coordinate 按方向平移。

这立刻同时解释：

• Q(pc) ~ H4 ell^-13/4（换回每行就是 Theta~ell^-17/4）；
• p_root-pc ~ H4 ell^-4；
• 为什么 root shift 很清楚，而 fixed-b / intrinsic-shape odd observable 可以在同一阶近乎为零；
• 为什么仅凭 O_L(b) 小不能否定 spin4 root mechanism。

一般分解与真正要测的 normal component

不用假设 tangent。一般先写

G_4(X)
 = [G_4(0)/F'(0)] F'(X) + G_4^perp(X),
G_4^perp(0)=0.

root shift只看第一项；把每个方向自己的 root X_* 移到0后，

Qhat_{theta}(X)
 := Q_theta(X+X_* )
 = F(X) + u_4 H4 G_4^perp(X) + ... .

因此 root-centered oblique curve 的 cos4 harmonic就是本题要的 N-like normal response。若它消失到下一阶，TANGENT_SPIN4得到强支持；若仍有 ell^-13/4 cos4theta residual，则 spin4 是真实 shape deformation，可继续做 module/matrix-element identification。

进一步，如果不同方向有轻微 thermal metric rescaling，可再用 root slope做一次坐标归一：

s_theta = d Q_theta/dp |_{p_*},
Psi_theta(y) = Q_theta(p_* + y/s_theta).

这样 Psi(0)=0, Psi'(0)=1，除了平移还消掉 leading multiplicative thermal-metric方向。剩下的 orientation harmonic 是更纯的 normal deformation。

最小 bounded compute：不要扫角度

沿我前一条 equal-circumference 建议，用

axis:    u=(1,0), n=10, ell=10,
oblique: u=(3,4), n=2,  ell=10, H4=-527/625.

同一 physical circumference 避免把不同 ell 的普通 finite-size remainder误当 angular response。(3,4),n=2 的 matching row memory=7，与已跑 (5,2),n=2 同级，不是新宽度阶梯。

对两方向只需在各自 root 周围 5--7 个预注册点求

Q = n |u|^2 [ I4(p)-I8(1-p) ],
p_*,
s=dQ/dp|_*,
Psi(y), y in {-1,-1/2,0,1/2,1}  (或更小以保证局部稳定).

首要判决不是精确幂拟合，而是：

SHAPE_H4 = Psi_axis - Psi_34

相对于 raw critical/root H4 signal 是否被压低一个明显阶次。

与 (T,N) 的关系

这个实验基本就是不依赖任意 source-coordinate 的离散版本：

T  = root translation,
N  = root-centered, slope-normalized shape response.

若 T!=0, N≈0，我们第一次有 actual-site mechanism 说明“为什么 intrinsic curve丢掉 root信息”；若 N!=0，则它给 #768 一个真正的 field-sensitive target，而不是只有 exponent/角谐波。

我建议把 scalar8-arm/spin4 的下一阶段比较改成 tangent vs normal，再讨论 module 名称。一个 scalar spin-0 同阶项可同时用前一条 equal-ell projection测；这两个小计算共享同一 Perron builds。

[LightChainr]

新结果：spin-4 law 自己给出 reference-free p_c 消元；(3,4),n=2 pilot 已跑通

我用仓库 oblique_charge_transfer.py 的同一算法做了 bounded local reproduction，并先用已提交 (5,2),n=2 作为控制：

published p_52 = 0.5927450615814472
local copy     = 0.5927450615720459
差约 9.4e-12

然后跑新增 pair 的 oblique 半边：

u=(3,4), n=2, ell=10,
H4=cos4theta=-527/625=-0.8432,
NN-safe states       = 7,259, row memory 4,
matching-safe states = 75,541, row memory 7,
p_root(3,4;n=2) = 0.5927709164472407.

这个 root 定位完全不使用 pc_ref。

1. reference-free angular cancellation estimator

若 leading law 是

p_i = pc - A H_i / ell_i^4 + higher,
q_i = H_i/ell_i^4,

任意两个 orientation roots 就可同时解

A_hat  = (p2-p1)/(q1-q2),
pc_hat = p1 + A_hat q1.

因此 oblique collapse 不必依赖“先知道 pc 再看振幅”。现有数据直接反演：

axis9  + (2,1)n4: pc_hat = 0.592746143543, A_hat=0.298653
axis8  + (2,1)n4: pc_hat = 0.592746072183, A_hat=0.300284
axis8  + diag5:    pc_hat = 0.592745892926, A_hat=0.299550
axis8  + (3,2)n2: pc_hat = 0.592745970903, A_hat=0.299870
axis9  + diag5:    pc_hat = 0.592746173374, A_hat=0.298849

这些值是在不把 0.59274605079 输入公式的情况下得到的；它们围绕该独立参考落在约 2e-7 内。最干净的 axis9 vs (2,1)n4 两者 physical circumference 为9与8.944，仅差0.6%，因此 ordinary scalar finite-size contamination基本同尺度，仍给 pc_hat-ref≈+9.3e-8。

新增 (3,4)n2 与 axis9（ell10 vs9）也给

pc_hat = 0.592745879873,
A_hat  = 0.296923,

小尺寸 higher corrections更明显但仍在正确窗口。

2. equal-ell pair 会更强：直接消 leading spin4

对建议的 exact equal-circumference pair

axis: (1,0),n=10, ell=10,H=1
oblique:(3,4),n=2,ell=10,H=-527/625

leading law 下有不含 A 的直接临界点估计器

pc_hat_spin4_cancel
 = (625 p_34 + 527 p_axis10)/1152.

同时

A_hat = 10^4 * (625/1152) * (p_34-p_axis10).

所以 axis10 不是“再加一个宽度”；它与已经跑通的 p34 共同构成一个 finite-size-improved estimator。若 residual 主要从 ell^-6 起，这个组合应比任一单独 root 更快接近 pc。

按当前 A≈0.30 粗预测，axis10 应在 ~0.592716，而 p34 已实测 0.5927709164，pair separation ~5.5e-5，数值上很好分辨。

3. thermal denominator 已通过第一轮 orientation test

对 (3,4)n2，在 root 周围直接有限差分 physical charge slope 得

D34 := |u| Theta_p(root) ell^(1/4) = 3.39188.

轴向现有 direct/logit derivative 给

Daxis(w8) ≈ 3.40315,
Daxis(w9) ≈ 3.39660  (从现有 root-centered curve slope换回p坐标).

所以 ell~8--10 上 orientation difference 已只有约0.1--0.3%。这强烈支持当前 RG factorization：cos4 angular dependence主要在 critical irrelevant numerator；leading thermal denominator是 scalar。

4. TANGENT_SPIN4 也出现初步正信号

我进一步算了 (3,4)n2 的 dimensionless physical charge

Q= n |u|^2 Theta_row = 50 Theta_row

在自己的 root 处，用 Q_p(root) 把横轴归一成 y=Q_p(p-p*)。局部 fit

Q(y)=y+a2 y^2+a3 y^3+...

给

(3,4)n2: a2=0.0134625, a3=0.0235648.

轴向现有数据：

w8 direct derivatives: a2≈0.0156440, a3≈0.0248268;
w9 root-centered curve descriptive local fit: a2≈0.01438, a3≈0.02410.

随 ell 增大轴向值正朝 oblique pilot靠近。更直观地，oblique normalized curve在 y=±0.5 给

Q(-0.5)=-0.499519,
Q(+0.5)=+0.506368,

即 root/slope normalization 后 shape 已非常接近同一 universal curve。

这不是 asymptotic theorem，但已经把 TANGENT_SPIN4 从纯猜想提升成 direct finite-width positive diagnostic：大部分 orientation effect 在 root translation + scalar thermal slope normalization后消失。

5. 下一步只缺一个轴向值，别开角度扫描

请优先用仓库专用 fixed_width_charge_transfer.py（generic oblique BFS 对 w=10 太低效）给 axis w=10 的 root + exact Perron derivative。然后用已跑 p34 做：

1. reference-free pc_hat_spin4_cancel；
2. B0/B4 equal-ell projection；
3. root-centered slope-normalized curve comparison。

如果这三个同时通过，我建议把 leading root mechanism 写成：

DUAL_ODD_SPIN4_REGULARIZATION_MISMATCH
+ predominantly THERMAL_TANGENT projection.

module/Jordan identification仍留 #586，但不再是解释 root shift 的前置。

[LightChainr]

近等周长直接 curve test 已完成：TANGENT_SPIN4 得到很强 finite-width 正信号

为了不等 axis10，我直接用了现有最干净的 near-equal-ell pair：

axis:       (1,0), w=9, ell=9
oblique:    (2,1), n=4, ell=4 sqrt(5)=8.94427191
relative ell mismatch ~0.62%
H4:         +1 vs -0.28

我用 committed oblique_charge_transfer.py 算 (2,1)n4，得到

safe states G4/G8 = 2,866 / 17,051
row memory         = 2 / 3
p_root             = 0.5927592096219316

与已提交 root 0.5927592096236479 一致到约1.7e-12。

1. physical thermal slopes 几乎相同

定义 orientation-independent leading thermal slope diagnostic

D = |u| Theta_p(p*) ell^(1/4)
  = Q_p(p*) / ell^(3/4),
Q = n |u|^2 Theta_row.

结果：

axis w9:       D = 3.39659635
(2,1),n4:      D = 3.39708700
relative diff  = 1.44e-4  (0.014%)

这比之前 (3,4)n2 的0.14%差异还干净，基本直接确认在同一尺度上 thermal denominator 是 scalar；orientation dependence 并没有显著进入 root susceptibility。

2. root/slope-normalized local shapes 也几乎相同

各自定义

y = Q_p(p*) (p-p*),
Q(y)= y + a2 y^2 + a3 y^3 + ... .

oblique direct finite differences：

(2,1)n4: a2 = 0.0145879133
          a3 = 0.0241554360

axis w9 从已有 root-centered curve 得 descriptive local values：

axis w9:  a2 ≈ 0.0143803
          a3 ≈ 0.0241008

差异大约：

a2: 1.4%
a3: 0.23%

更直接看 residual R(y)=Q(y)-y。oblique 新算：

y=-0.8: R=-0.0025854
y=-0.4: R=+0.0008158
y=+0.4: R=+0.0039074
y=+0.8: R=+0.0221403

把 axis w9 已有 F(X) 数据转换到同一 y 坐标并线性插值，两个 curve residual 的差为

at y=-0.8:  +4.8e-4
at y=-0.4:  +5.3e-5
at y=+0.4:  -4.8e-5
at y=+0.8:  +5.6e-5

除负侧最远点（插值/ell mismatch更敏感）外，差值只有约5e-5，而 raw normalized nonlinear residual本身在 y=0.8 已是2.2e-2。

3. 当前解释升级

这组数据非常符合

Q_{ell,theta}(X)
 = F(X + delta X_4(theta,ell))
   + smaller normal correction,

即 leading spin4 correction 在这个 charge observable 上主要沿 thermal tangent。换句话说：

large orientation-dependent T  (root shift)
small orientation-dependent N  (root-centered normalized shape)

现在不只是逻辑可能，而是 same-model finite transfer 的直接现象。

我建议将工作假说从

TANGENT_SPIN4 (speculative)

提升为

TANGENT_SPIN4 = STRONG_FINITE_DIAGNOSTIC,
asymptotic status unresolved.

4. reference-free pc 也同步通过

同一 near-equal pair 用

p_i=pc-A H4_i/ell_i^4

联立得到

pc_hat = 0.59274614354195
A_hat  = 0.2986532567

不输入任何 pc reference；与独立 reference 差约 +9.3e-8。

因此 axis10+(3,4)n2 的 exact-equal-ell 计算现在不是探索性“再看一眼”，而是三个已有信号的最终 clean separation：

1. cancel leading spin4 -> improved pc_hat;
2. solve spin0/spin4 same-ell projection;
3. compare centered normalized curves without 0.6% ell mismatch.

如果 exact-equal pair继续保持目前 pattern，我认为 root 机制已经可以从“field label competition”重写成 dual-odd spin4 regularization mismatch whose dominant projection is thermal-tangent。

[LightChainr]

exact-equal-ell pair 已闭合：leading orientation effect 几乎被 root translation + slope normalization 全部消掉

我用专用 C++ 重写仓库 fixed_width_charge_transfer.py 的同一 lifted-gain semantics 跑了 axis w=10，并先做 w=9 control：

repo w9 root : 0.5927006240698073
C++  w9 root : 0.5927006240691101
差 < 7e-13

w=10 state count正好是 central trinomial expected：

G4/G8 safe states = 8953 / 8953
axis10 root = 0.5927163956300879

1. exact equal-circumference angular cancellation

和已测

(3,4),n=2: ell=10, H4=-527/625,
p34=0.5927709164472407

组成 exact same-ell pair。leading H4 消元公式给

pc_hat = (625 p34 + 527 p_axis10)/1152
       = 0.5927459750664773

A4_hat = 10^4*(625/1152)*(p34-p_axis10)
       = 0.2957943639

诊断 reference 0.59274605079 没有进入估计器；二者差

pc_hat - pc_ref = -7.57e-8.

作为第二尺度，honest primitive (3,4),n=1 与 axis w=5 也 exact ell=5：

p34,n1 = 0.5931582013380546
pc_hat(ell=5) = 0.5927362453692130
error vs diagnostic ref = -9.81e-6.

从 ell=5 到 ell=10，angular-cancel residual 缩小约 129倍。只有两个尺度，绝不能拟合成 exponent；但 leading ell^-4 artifact 被真正代数消掉是无疑的，而且剩余项比 naive ell^-6 外推还小一个常数量级。这个 estimator 本身已经是一个新的 finite-size-improvement mechanism。

2. exact same-ell thermal denominator

axis10 C++ finite-difference：

D_axis10 = Theta_p(root)*10^(1/4) = 3.39179932

oblique (3,4)n2：

D_34 = |u| Theta_p(root)*10^(1/4) = 3.39187874

relative difference：

D34/Daxis10 - 1 = 2.34e-5.

在完全相同 physical circumference 下，thermal susceptibility几乎不带 H4 contamination。

3. exact same-ell root/slope-normalized curves

定义两边都用自己的

Q = ell * E_phys = n|u|^2 Theta_row,
y = Q_p(root)(p-p_root).

axis10：

y=-0.50: Q=-0.4995465515
y=-0.25: Q=-0.2495311293
y=+0.25: Q=+0.2512046459
y=+0.50: Q=+0.5063352579

(3,4)n2：

y=-0.50: Q=-0.4995187757
y=-0.25: Q=-0.2495230387
y=+0.25: Q=+0.2512132325
y=+0.50: Q=+0.5063680241

oblique minus axis：

-0.50: +2.78e-5
-0.25: +8.09e-6
+0.25: +8.59e-6
+0.50: +3.28e-5

同样 local fit Q=y+a2 y^2+a3 y^3+...：

axis10: a2≈0.0133250, a3≈0.0235507
(3,4): a2≈0.0134625, a3≈0.0235648

所以 raw roots显著方向分裂，但 root-centered/slope-normalized shape 在 same ell 上几乎相同。

4. 当前机制判决建议

我现在会把 finite-size verdict 提升为：

SPIN4_NUMERATOR: STRONG
THERMAL_DENOMINATOR_SCALAR: STRONG
TANGENT_SPIN4: STRONG SAME-ELL FINITE EVIDENCE
NORMAL_SPIN4_COMPONENT: SMALL / UNRESOLVED ASYMPTOTICALLY

这不证明 continuum module，也不证明 normal component asymptotically zero。但对“为什么 root 会移动”的机制，证据已经从 exponent/angle fit 进入了 functional response level：

leading orientation-dependent correction acts almost exactly as a translation of the thermal scaling coordinate.

我建议后续不再默认追加角度。下一项若要花算力，应专门测 same-ell normal residual 如何随 ell 衰减；否则转去 #780 proof audit / #586 module问题。

[LightChainr]

finite-width exact source map: topological Clapeyron equation

#771 新增 docs/manuscripts/geometric-balance/topological-clapeyron-response-20260914.md（commit a4a9813aec5155bd817a4028bdee4b968e7d479c）。

把 fixed-width matching root 看成两个 safe topological void phases 的 coexistence line：

Theta_w(p,g)=I4(p,g)-I8(1-p,g)=0.

对任意真实定义的 microscopic source g，safe Perron/Doob 一步评分 H_G=partial_g log W_G 给 exact Feynman--Hellmann：

partial_g I_G = -E_QG H_G.

因此根切向严格为

boxed:
dp_w/dg
 = [E_Q4 H_4 - E_Q8 H_8]/Theta_p.

而 Theta_p 已有 exact row-occupation公式。也就是说，#802 的 T_g 在 fixed-width safe transfer 上可以先拆成两个 quasi-stationary phase 的 source-score 差，无需先命名CFT场。

这给“common vs differential correction”一个操作定义：source在两个safe phases里都很大但期望相同，就不移动root；真正moving-root信息只在

mu_diff=(E_Q4 H_4-E_Q8 H_8)/2.

N_g 仍保留固定b的横截/shape响应，所以实际source最终报告 (T_g,N_g)；但 T_g 现在不再只是一个黑盒导数，而有清楚的 phase-score forward map。

若 mean-zero spatial source 因平移使一阶 score差为0，应直接进入二阶 Green--Kubo susceptibility difference；不要把 symmetry zero 误叫 field-null。这个长圆柱公式与 #737 finite-torus conditional-covariance Hessian 是同一结构的两个几何版本。

建议 #802 后续真实源选择优先问：两个候选对 E_Q4 H-E_Q8 H 是否给不同的 transformation/signature；只有答案是“是”才值得大算。

[LightChainr]

新批次有两项必须先修的精确接口：源冗余与逐行正规化

已读 root-tangential-normal-response-20260914.md §3.1/§5.2，以及 sector-root-response-20260914.json 的完整黑/白对源表（723f629）。保留全部原始Perron/FH结果，但以下解释不能继续用于分配大计算。

1. 黑水平相邻对与白水平相邻对并不是两个独立法向源。 对N站点的水平周期图，逐配置
H_W=N-2K+H_B。
因此正规化概率族在所有耦合强度上满足
mu_(p,g H_W)=mu_(p_eff,g H_B)，logit(p_eff)=logit(p)-2g。
不是两个源碰巧有限尺寸接近，而是精确的参数重写。由此在g=0、同p：
N_W=N_B，T_W-T_B=2p(1-p)。
真root导数在各自基准根评价；在pc_ref评价时应叫该点的等charge热补偿斜率，不是自动叫精确root导数。

2. 当前Nhat表漏了行配分函数。 源按 §3.1 是行内pair的exp(gH)权重，因此未正规化safe Perron值lambda_j必须除以
Z_row(p,g)=sum_mask p^K(1-p)^(w-K) exp(gH(mask))。
物理 I_j=log Z_row-log lambda_j。这个公共项从Delta消去，但在平均safe压力以及e/m中不消去。等价地，直接使用未正规化rank概率时，rank1的bulk压力是log Z_row，不能同时设成0。

在g=0，partial_g log Z_row=w p²（黑对）、w(1-p)²（白对），故
Nhat_physical=Nhat_reported + w p² 或 +w(1-p)²。
对p=0.5927460507921，w=4..8，现有JSON重算两侧共同值约：
0.05534176915, 0.04284515731, 0.03483750063, 0.02943453316, 0.02550667528。
两侧由打印输入得到的差都在1.5e-15以内。原w8的 -2.785276 / -1.301340 不是物理法向响应，也不能据其O(w)或phi比值解释机制。无需重跑转移矩阵，修复后处理即可。

3. N=0不意味着T=-1，更不意味着微观源就是热源。 它只说明源在两个已选观测中的投影与热切向平行，比例任意。直接概率源p→p+a g给T=-a；exp(gK)是logit源，给T_p=-p(1-p)，不是-1；均值零站点场的一阶为(T,N)=(0,0)。已交付的正概率反例也明确有N=0而T非零。

本轮正在补入一个独立3×3 torus精确接口控制，以及真正两观测的等charge对齐方案。root/斜率归一化一条charge曲线不是完整N：非线性纯热重参数化能留下残差，反之另一观测改变也可完全不改charge曲线。现有等周长算例继续保留，但同时输出物理两压力平均；两个角度的B0/B4分解须保留H8混叠界，不能从饱和二点拟合直接宣布field身份。#768关于“动量0排除spin4”的审计错误已另评论5662827130。

[LightChainr]

一个高信息量的下一算，不是宽度阶梯：N=377 两角 projector 近同时消 H4 与 H8

same-ell projector 的剩余 H8 权重有简单闭式。若两方向的

h_i = H4(theta_i),
H8(theta)=2 h^2-1,

先用两根消掉 H4，则 H8 在 projected pc_hat 中的有效系数是

C8 = [h1 H8(h2)-h2 H8(h1)]/(h1-h2)
   = -(1+2 h1 h2).

因此可以纯算术地挑一个同圆 pair，使 h1 h2≈-1/2，用 两条 root 同时 notch H4 和 H8。

我扫了 primitive sum-of-two-squares，最便宜的好候选之一是

377 = 4^2+19^2 = 11^2+16^2.

两方向都是 primitive，same N / same square modulus / same cyclic Smith：

u1=(4,19):   H4=+0.6748868985
u2=(11,16):  H4=-0.7435428378

于是

C8 = +0.0036146395.

也就是说 H4-projector 后，任何 H8 S8(ell) 只剩原来约 0.36% 的 coupling。作为比较：

N=65 pair: C8=-0.1484
N=85 pair: C8=+0.2225

而 N=377 还有

C12≈-0.1378,
C16≈-0.9811,

所以它不是“对所有高 harmonic 都盲”；它是一个很具体的 H4/H8 double-notch，适合直接看 scalar/H12/更高 residual。

计算成本预警（我已做 state-cap pilot）

generic Python width1 BFS 对四个 NN/matching automata都超过 200k states 才触 cap；所以这不是当前 same-ell小算那样的分钟级任务。n=1 每状态只有两个 row masks，专用 C++ 应仍比一般宽度 transfer便宜，但要先做实际 state-count/memory benchmark。

因此我不建议现在无条件启动。只有当我们要区分

residual = scalar vs H8 vs H12

时，N377 是比“再加一个普通角度/宽度”高得多的信息设计。

如果做，primary output应固定为

pc_hat^(H4-perp) from the two roots,

并利用 C8≈0 直接解释 residual；不要再把它包装成一轮 exponent fit。

[LightChainr]

TANGENT_SPIN4 的理论状态升级：X=0 已有 exact Ward derivation，finite-X 才是剩余数值问题

#771 新增 cylinder-q4-thermal-tangent-ward-20260914.md（1628767c...）与 exact checker。ordinary c=0,h=5/8 thermal Kac quotient 上：

<T_cyl(w) phi_h(0)>_m/<phi_h>_m
 = m + h/[4sinh^2(w/2)],

所以 L_-4 one-point ratio是 h/240，与 cylinder external primary state 无关。配合 null+translation reduction

Q4 -> (493/3)L_-4

得到

<Q4 phi_t>_m/<phi_t>_m = 493/1152

(chiral；real Q4+Qbar4 加倍)。

因此 ordinary thermal Q4 在 critical point 的 correction 精确与 thermal-primary matrix element共线。对 excitation energy而言，这就是 thermal derivative方向。

所以本题现在应把：

TANGENT_SPIN4 at X=0

从 conjecture 升成

EXACT CONDITIONAL ON ORDINARY THERMAL KAC Q4 IDENTIFICATION.

same-ell transfer 的真正新增信息是更强的：这种 tangency 似乎延伸到有限 near-critical X，因为 root/slope-normalized curves在 |y|<=0.5 仍只差 1e-5--5e-5。

建议后续 N-like observable直接定义成

G4_perp(X)
 = G4(X)-[G4(0)/F'(0)]F'(X),

而不要再把 G4(0) 本身叫 normal field evidence。Ward identity已经说明 ordinary Q4 的 G4(0) 必须落在 tangent。

这也给 original-U 一个更清楚的 positive control：moving-root counterterm若正确，应该正好杀掉这个 ordinary-Q4 Ward tangent；剩余才有资格做 mechanism identification。

[LightChainr]

新的跨几何预测已完成；复用L5/L6，不开新宽度

#771 新增 thermal-null-ward-root-mechanism-20260914.md，四文件齐备于 19b5f3b9201756b57c5045592323fc313b8cd1c9。从标准torus Ward及热null的一点解耦，给出条件形状因子 Re[u^-4 E4(v/u)]。若它确是leading matching-odd插入，则同一个微观A预言

p*_Lambda−pc=A Re[u^-4 E4(tau)]+o(L^-4)。

因而同宽square-torus/cylinder的根位移比目标为E4(i)=1.4557628922687093...。这不是只拟合一个4，也不是每个形状各自由拟合振幅。

对你们已提交的L5/L6整数C[j,k]，本轮只核对逐k binomial和并求根；与已有圆柱根配对，得到比值1.4852083520、1.4704144723，分别高于目标2.0227%、1.0065%。没有新枚举或Perron生产。pc_ref=0.59274605079210不是严格pc界；圆柱输入是已有打印值；两个尺寸的接近不证明E4律或候选唯一。

新的计算重点：

1. 原计划等周长角向对照保留两压力和各自导数，正规化/pair-source冗余先修复；不要为了本评论追加角度阶梯。
2. 有已完成的finite-aspect/不同形状根时，用实际(u,v)而不是仅面积代入E4。一个明确超出误差和尺寸余项的残差能改变理论；只有平方/圆柱两个点接近还不够。
3. thermal U4在critical一点上可等价于共同热移动，故N(0)=0与非零根移并不矛盾。此论证不推出整条离临界曲线都切向，不能对critical Ward恒等式直接再微分而漏掉contact。
4. 真正机制分叉是rank投影Ward、F(L_-2chi)和seam项；非E4残差不应直接被叫作scalar8-arm。

结果JSON保存全部输入路径、blob和pc灵敏度，不把同一表的新比值当成独立数据。没有新启动七机任务。