用条件二项分布回答一件酒桌上天天发生、却很少被算清楚的事：
已知人数、自己的骰子和叫法历史，现在该跟、该加，还是该开？
这是一份独立数学研究（v2.0，2026 年 8 月），不是游戏 App。仓库里有论文、闭式概率代码、仿真数据和论文图。
| 论文 | 代码 | 数据 | 图 |
|---|---|---|---|
| PDF · Word | liars_dice/prob.py |
data/ |
figures/ |
吹牛骰子（Liar's Dice / 大话骰）是多人不完全信息博弈：每人 5 颗六面骰，只能看自己的，轮流叫「至少有 (q) 个面 (f)」，或者开上家。飞模式里 1 是万能牌，斋模式里不是。
民间口诀很多（「人多敢叫大」「有对才敢叫」），但一次跟叫会泄露手牌，一次开牌又像做假设检验。本研究把这件事拆成四层：
- 概率：叫法成立的精确概率（闭式二项分布，不是蒙的）
- 信息：自己手里有几颗有效骰，会怎样改写这个概率
- 信念：对手一路叫什么，能推断他手里大概有货还是在诈
- 决策：成立概率、立刻开的胜率、最终活下来的概率，是三个不同的数，不能混着用
理论部分用 scipy 二项分布右尾逐点校验；实证部分跑了 89,600 局 蒙特卡洛自博弈（7 种策略 × 双人轮换 × 飞/斋）和 440 桌 五人大逃杀，置信区间用 Clopper–Pearson，多对比较做了 Bonferroni 校正。
1. 自己的骰子不是装饰，漏算会开错牌。
5 人飞局、被叫「8 个 5」：如果你手里其实有 4 颗有效支持，真实成立概率是 0.940；如果你假装自己没贡献，会算出 0.339，差了将近 3 倍。按后者会考虑开，按前者绝对不该开。
2. 人越多，同一句叫法越安全；斋局比飞局紧一档。
「6 个某点」在飞局里：3 人桌只有 7.7%，5 人桌已经 70.3%，10 人桌接近 100%。斋局整体左移，5 人桌同一句只剩 10.2%。
3. 纯策略会被打穿，均衡必须带随机。
仿真里，固定阈值、固定风格的启发式代理，会被不可预测的打法显著剥削。双人飞局里随机型胜率 83.8%（95% CI: 82.8%–84.7%）。这支持「不存在纯策略均衡」的理论结论——但不等于「乱叫就是最优」。随机型数字偏高，也和当前启发式代理的实现局限有关，正文第 9.5 节有诚实讨论。
4. 开牌不要用一条死线。
经验校准的分层区（随人数、位置、对手风格浮动，不是普适常数）：
| 上家叫法成立概率 (p) | 建议 |
|---|---|
| (p \le 0.15) | 果断开 |
| (0.15)–(0.30) | 比较跟下去还值不值 |
| (0.30)–(0.70) | 通常跟 |
| (0.70)–(0.90) | 谨慎跟 |
| (p \ge 0.90) | 绝不开 |
这些是正文表 18 的压缩版，每条后面都有对应公式或表格。
- 首叫优先叫自己有支持的点数。
- 手里不成对，就用万能面 1 起步（飞局里最模糊，真 1 和伪装分不清）。
- 成立概率 ≥ 0.6、又没远超期望，就跟。
- (p\le 0.15) 果断开，(p\ge 0.90) 绝不开。
- 5 人桌正常节奏大约 3→4→5→6→7；过了 8、9 必须手里有货。
- 有人出局后收一收——场上骰子少了，每颗权重变大。
- 对手一路抬同一面、不换面：大概率有货，别轻易开。
- 对手突然换面或突然加速：警惕诈唬，找他撑不住的面开。
- 后手可以观望一轮；先手把起步价压低一点施压。
- 自己只剩 2 颗骰时极度保守；4–5 颗还能扛一次失败。
- 斋局把叫量整体收紧一档。
- 被连续逼到高价、自己又没支持，及时止损。
5 人飞局安全区速查（期望有效骰 (\approx 8.3) 颗/面）：常见安全叫量 (\le 7)，危险区 (\ge 10)。
吹牛骰子数学研究/
├── README.md ← 你正在看的这份
├── 吹牛骰子概率博弈最优决策研究.pdf ← 主论文（32 页）
├── 吹牛骰子概率博弈最优决策研究.docx ← 可编辑源
├── Final Report.md ← 终检记录（深化点、表格修复、诚实标注）
├── liars_dice/
│ ├── prob.py ← 闭式概率引擎（可独立使用）
│ └── scripts/
│ ├── plot_figures.py ← 生成 fig1–fig6
│ └── gen_formulas.py ← 渲染论文公式图
├── data/ ← 仿真原始结果与检验表
├── figures/ ← 论文图 1–6
└── formulas/ ← 公式图 eq01、def03、thm04 等
论文附录 D 还描述了一套更完整的源码（游戏引擎、7 类代理、排行榜脚本、1,200,004 项校验）。当前这个目录里，上述引擎和代理尚未收录，但概率模块、论文图、原始数据和主论文都在。已发表的数值都可以对照 data/ 核对；概率表可以用 prob.py 当场重算。
- Python 3
- 只算概率：标准库就够（
prob.py在没有 scipy 时会走纯 Python 求和） - 画论文图：
numpy、scipy、matplotlib
python3 -m pip install numpy scipy matplotlib中文图需要本机有 CJK 字体（脚本默认 Noto Sans CJK SC）。没有的话，图能出，标题可能缺字。
在项目根目录打开 Python：
import sys
sys.path.insert(0, ".")
from liars_dice import prob
# 5 人飞局，上家叫「8 个 5」，我手里是 [1, 1, 3, 5, 5]
p, k = prob.cond_claim_probability(
q=8, n_players=5, my_hand=[1, 1, 3, 5, 5], face=5, mode="fly"
)
print(f"我有 {k} 颗有效骰，成立概率 {p:.3f}")
# 我有 4 颗有效骰，成立概率 0.940 → 绝不开换几个常用问题：
# 完全不看自己的牌，「6 个某点」在不同人数下有多真？
for n in [3, 5, 8, 10]:
p_fly = prob.uncond_claim_probability(6, n, 5, "fly")
p_zhai = prob.uncond_claim_probability(6, n, 5, "chase")
print(f"{n} 人 飞 {p_fly:.3f} 斋 {p_zhai:.3f}")
# 首叫：希望成立概率至少 60%，最多能叫几颗？
q = prob.safe_call_quantity(
0.60, n_players=5, my_hand=[1, 2, 3, 5, 5], face=5, mode="fly"
)
print("安全首叫量", q)没有 scipy 也能算。若已安装 scipy，可跑模块自检（会和二项分布右尾逐点对一下）：
python3 liars_dice/prob.pymode 只认两个值："fly"（飞，1 万能）和 "chase"（斋，1 不万能）。
这是正文第 5 节最重要的澄清。记 (M=(N-1)\times 5) 为对手未知骰数，(k) 为自己手里对该面的有效骰数：
| 符号 | 含义 | 什么时候用 |
|---|---|---|
| (P_0(q)) | 假装自己 0 贡献时的下界 | 只做最保守估计 |
| (P_k(q)) | 已知自己有 (k) 颗支持 | 决策时该用这个 |
| (P_{\mathrm{tot}}(q)) | 谁的牌都不知道 | 开局前的先验，不是你坐下之后该用的数 |
定理（2,793 个格点逐点验证，无一违反）：
- 自己每多一颗有效骰，(P_k) 只升不降
- 存在交叉点 (k^*)：支持不够时 (P_k) 低于完全先验，支持够了则高于它
- 用 (P_0) 代替 (P_k)，永远低估成立概率
对应公式图：formulas/par00.png（基本参数）、formulas/eq01.png（无条件）、formulas/thm04.png（单调性与交叉点）。
| 图 | 文件 | 在说什么 |
|---|---|---|
| 1 | fig1_probability_surface.png |
人数 × 叫量的成立概率曲面 |
| 2 | fig2_fly_chase_comparison.png |
同一句「6 个某点」，飞 vs 斋 |
| 3 | fig3_conditional_vs_unconditional.png |
不同盅型把概率拉高多少 |
| 4 | fig4_threshold_decision_zones.png |
开牌阈值分区 |
| 5 | fig5_dice_pattern_heatmap.png |
盅型战略评分（启发式，不是均衡解） |
| 6 | fig6_leaderboard_bar_ci.png |
五人桌策略排行榜 + 95% CI |
图已经生成好了，直接看 figures/ 即可。若要重画，需要先把脚本里的输出路径从原来的 /outputs/... 改成本仓库的 figures/ 和 data/；plot_figures.py 还引用了论文完整工程里的 liars_dice.agents.base（当前目录没有这个模块），图 5 的评分矩阵目前是脚本内写死的。
data/ 是仿真落盘，不是需要再爬的外部数据集。随机种子在论文附录 B 中固定为 SEED = 20260826。
| 文件 | 内容 |
|---|---|
leaderboard_pairwise_fly.csv / _chase.csv |
双人轮换交锋排行榜 |
leaderboard_tabletop_fly.csv |
五人飞局大逃杀排行榜（每策略 220 局） |
summary_pairwise_fly_2.json / _chase_2.json |
双人赛汇总（总局数、各策略胜率） |
raw_pairwise_fly_2.jsonl / _chase_2.jsonl |
双人赛逐局原始记录 |
z_tests_pairwise_fly.csv / _chase.csv |
成对 Z 检验（Bonferroni 校正） |
expA_population_sensitivity.json |
实验 A：人数敏感性 |
expB_threshold_ablation.json |
实验 B：开牌阈值消融 |
expC_shape_value.csv |
实验 C：盅型价值（安全首叫量） |
五人飞局排行榜（与正文表 11 一致）：
| 排名 | 策略 | 胜率 | 95% CI |
|---|---|---|---|
| 1 | random | 0.659 | [0.592, 0.722] |
| 2 | aggressive | 0.164 | [0.117, 0.219] |
| 3 | rational | 0.123 | [0.083, 0.174] |
| 4 | bluff | 0.027 | [0.010, 0.058] |
| 5 | conservative | 0.027 | [0.010, 0.058] |
双人飞局 44,800 局汇总：random 0.838，aggressive 0.610，bluff 0.579，rational 0.571，adaptive 0.479，follow 0.477，conservative 0.447。
- 引言：要回答的决策问题
- 相关工作：Ferguson 二人解析、MCTS、CFR、黄信翰毕业论文
- 规则与形式化：状态 (S=(N,H,B,R,P,\mathrm{mode}))
- 无条件成立概率（表 3a/3b、图 1、图 2）
- 条件概率与压缩效应定理（表 5–6、图 3）
- 贝叶斯信念更新（信任权重 (\tau \approx 0.3)–(0.5)）
- 行动价值：成立概率 ≠ 立刻开胜率 ≠ 最终存活率
- 博弈论：纯策略均衡不存在；二人动态规划框架
- Monte Carlo 实证与诚实讨论
- 策略表与 12 条实战法则
- 结论与展望
附录 A 推荐算法伪代码 · 附录 B 复现命令 · 附录 C 文献 · 附录 D 目录索引
- 阈值 0.15 / 0.30 / 0.90 由模拟校准，会随人数、位置、对手风格变，不是放之四海都准的常数。
- 「随机型领先」有两层解释：理论层（纯策略可被剥削）和工程层（启发式代理的延续价值评估有偏）。本文不声称随机叫法本身是最优策略。
- 「完全不诈唬会被剥削」是均衡直觉，具体诈唬频率还没有从均衡计算里给出。
- 8 人以上计算量上升，10 人以上外推要谨慎。
- 严格贝叶斯纳什均衡未求（5 人联合类型空间约 (9\times 10^{18})）。CFR / 自我对弈强化学习列为未来工作。
- 独立研究，未经外部同行评审。
- T. S. Ferguson. Who Solved the Liar's Dice Game?（作者主页；UCLA 原 PDF 已下线，此为互联网档案馆。二人解析框架，本文动态规划的直接来源）
- J. Platt, L. Guo. Liar's Dice and Monte Carlo Tree Search（2018；公开可核的相关工作见 Brown 等 ReBeL，用搜索求解吹牛骰子）
- M. Bowling, N. Burch, M. Johanson, O. Tammelin. Heads-up Limit Hold'em Poker is Solved. Science, 2015. 另见 Burch, Johanson, Bowling. Solving Imperfect Information Games Using Decomposition. AAAI, 2014.（CFR）
- 黄信翰. 吹牛骰子之博弈分析. 国立台湾大学统计学研究所硕士论文.（馆藏也可在台湾博硕士论文知识加值系统检索）
数学研究组. 吹牛骰子（Liar's Dice / 大话骰）：概率模型、贝叶斯推断与最优决策策略.
独立研究 v2.0, 2026.
声明：本研究为独立数学工作，未经外部同行评审；概率表、仿真数据和论文图均可在本仓库内核对。